Ejemplos de Figuras Geométricas

Veamos algunos ejemplos de otras figuras geométricas que podemos construir a partir de las figuras fundamentales que hemos descrito anteriormente.

1. Polígonos Regulares

Un polígono regular se compone de aristas/lados de igual longitud. Esto implica que el ángulo entre cada arista contigua es el mismo. Si trazamos un segmento del centro a un vértice y otro segmento del centro a otro vértice contiguo, entonces el ángulo entre estos dos segmentos es un divisor de 2π = 360°. En otras palabras, cada ángulo mencionado es inversamente proporcional a la cantidad de lados del polígono regular. Podemos usar la siguiente fórmula:

α = 2π / N,   donde α es el ángulo, y N es la cantidad de lados

Crearemos polígonos regulares en base a una circunferencia que circunscribe nuestro polígono regular. Esto implica, que el centro de la circunferencia coincide con el centro geométrico de cualquier polígono regular. Para esto, necesitamos usar algunas funciones trigonométricas, junto con el ángulo ya calculado. El paso principal es averiguar la coordenada del siguiente vértice de nuestro polígono. Usaremos las siguientes fórmulas:

xi = cx + r * cos( i*α ),
yi = cy + r * sen( i*α )

donde:

  • i = 0,1,2,…,N-1,
  • r es el radio de la circunferencia, y
  • c = (cx, cy) es la coordenada del centro geométrico de la circunferencia y del polígono.

Al agregar el centro a nuestra fórmula, conseguimos mover el centro geométrico del origen (0,0) al que nosotros deseemos.

1.1. Pentágono Regular

[IMAGEN]: Figura 16 - Polígono - N=5
Figura 16 - Polígono - N=5

Con un pentágono, tenemos que N=5, por lo que α = 2π / 5, que equivale a 72°. Suponiendo que c = (0,0) y r = 1,00, la lista de vértices es:

(1,0000, 0,0000),
(0,3090, 0,9511),
(-0,8090, 0,5878),
(-0,8090, -0,5878),
(0,3090, -0,9511)

Podemos ver el resultado en la figura 16.

1.2. Algoritmo

Ahora presentaremos el algoritmo para implementar el trazado de un polígono regular:

Polígono_Regular( N, centro, radio )
  1. Crear una lista de N vértices: vértices
  2. alfa Figura 2π / N
  3. Bucle: i ← 1 hasta N
  4. vértices[i].x ← centro.x + radio * cos( (i-1)*alfa )
  5. vértices[i].y ← centro.y + radio * sen( (i-1)*alfa )
  6. Dibujar_Polígono( vértices, N )
  7. Terminar.

La función Dibujar_Polígono() se refiere a la función de la biblioteca o API gráfica para trazar líneas rectas consecutivas de un vértice o punto a otro según una lista de puntos. Si tal función primitiva no existe, entonces a continuación presentaremos su algoritmo usando la función primitiva, Dibujar_Polígono():

Dibujar_Polígono( vértices, N )
  1. Bucle: i ← 2 hasta N
  2. Dibujar_Polígono( vértices[i-1].x, vértices[i-1].y, vértices[i].x, vértices[i].y )
  3. Dibujar_Polígono( vértices[N].x, vértices[N].y, vértices[1].x, vértices[1].y )
  4. Terminar.

2. Composición

El objetivo de usar estas figuras geométricas es para poder construir figuras más complejas basadas en las primitivas. He aquí algunos ejemplos de figuras compuestas.

2.1. Cara

[IMAGEN]: Figura 17 - Cara
Figura 17 - Cara

Un ejemplo relativamente sencillo de una imagen compleja es crear una cara. Para no complicar el ejemplo, dibujaremos la cabeza como un círculo, los dos ojos como dos círculos, la nariz como un triángulo, y la boca como un semicírculo. El resultado se puede ver en la figura 17.

2.2. Arco Persa

[IMAGEN]: Figura 18 - Arco Persa
Figura 18 - Arco Persa

Otro ejemplo es el de dibujar una ventana de estilo persa. Esto consiste en dibujar varios arcos, unidos entre sí, seguidos de líneas rectas. La figura 18 muestra una simple imagen de la idea citada.

3. Visualización de Datos

Una aplicación en asuntos laborales, pero menos artística, es en la presentación de datos con ámbito visual. Desde la presentación del censo popular de una región usando barras hasta las presentaciones de cifras de precios de varios productos en una empresa usando diagramas en tartas (pie charts, en inglés) hacen uso de gráficos simples pero potentes en cuanto a la información que conllevan. Aquí presentaremos algunos ejemplos de tales usos.

3.1. Barras

[IMAGEN]: Figura 19 - Barras
Figura 19 - Barras

Podríamos decir que las barras son el gráfico architípico de las presentaciones en empresas al igual que los estadísticos al mostrar las diferencias en población. La figura 19 muestra un claro ejemplo de tales datos.

3.2. Gráficos circulares

[IMAGEN]: Figura 20 - Gráfico Circular
Figura 20 - Gráfico Circular

Otro gráfico popular en la representación de estadísticas es la "tarta" o gráfico circular. La figura 20 nos da una idea del conocido gráfico.

4. Diagramas

[IMAGEN]: Figura 21 - Circuito Eléctrico
Figura 21 - Circuito Eléctrico

Otro ejemplo con aplicaciones, principalmente, en diseño es en presentar diagramas. Aquí mostramos, en la figura 21, el diagrama de un circuito eléctrico.

5. Interfaces Gráficas

En el tema de entornos gráficos, un claro ejemplo de las figuras geométricas básicas que hemos visto consiste en la creación de componentes visuales para interfaces gráficas. Por ejemplo, en entornos visuales como MS-Windows®, existen componentes como botones, ventanas, menúes, pestañas, barras de proceso, listados, etc.. Internamente, tales componentes se basan en figuras fundamentales como rectángulos, círculos, y líneas rectas. La figura 22 muestra la típica ventana en MS-Windows®.

[IMAGEN]: Figura 22 - Ventana de MS-Windows
Figura 22 - Ventana de MS-Windows

6. Curvas

Ya hemos visto las curvas de Bézier, mencionando las aplicaciones en el diseño de automóviles. En la programación gráfica, estas curvas son aplicadas popularmente para realizar logotipos, fuentes, y otras figuras que no se pueden crear con facilidad como composiciones de figuras básicas. En la siguiente figura 23, mostramos un fantasma diseñado con varias curvas de Bézier.

[IMAGEN]: Figura 23 - Fantasma (Bézier)
Figura 23 - Fantasma (Bézier)

Para facilitar a los lectores el diseño de las curvas de Bézier, presentamos un applet de Java para poder diseñar sus propias curvas interactivamente. Pinche el vértice que se desee mover con el botón izquierdo del ratón. Mantenga pulsado este botón izquierdo y mueva el ratón en la dirección que se desee, para mudar el vértice de la curva. También se permite introducir las coordenadas directamente a través de los cuadros de edición correspondientes a cada uno de los vértices.


Applet para Curvas de Bézier

Nota: Se requiere la máquina virtual de Sun (Sun VM) para poder ejecutar este applet de Java.