Sistema de Coordenadas

Hemos visto los objetos abstractos: escalares, puntos, y vectores. Ahora asociaremos estos objetos a un sistema de coordenadas como referencia.

El sistema de coordenadas o sistema de referencia es un conjunto de N escalares para referirse unívocamente a cada punto en un espacio de N dimensiones. Por ejemplo, en dos dimensiones (2D), cada punto es descrito por dos escalares que representan dos coordenadas. El típico sistema de coordenadas que usamos es el llamado sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. Este sistema de coordenadas se basa en anchura y altura - las mismas propiedades de un rectángulo. También es usual usar el sistema de coordenadas polares, que se basa en un radio y en un ángulo, para describir cualquier punto.

Por el momento nos ceñiremos a usar un sistema de coordenadas rectangulares. Describimos este sistema a través de una base - conjunto de vectores linealmente independientes. Por ejemplo, podemos describir un vector cualquiera, q, de esta manera:

q = a u + b v

donde a y b son escalares y componentes de q, mientras que u y v son vectores que forman una base.

Una base involucra vectores, pero como los vectores no tienen posición, necesitamos un punto de referencia para nuestro sistema de coordenadas. Por ello, creamos un marco de referencia en espacios afines. Un marco de referencia se compone de la base que describe un sistema de coordenadas y un punto de referencia que describe el origen. De esta forma, fijamos los vectores de la base en un solo punto. Ahora podemos describir cualquier vector en un marco de la misma forma que en el espacio vectorial:

q = a u + b v

Figuras 3 y 4 - Marco de referencia y Sistema de coordenadas con los vectores mudados
[IMAGEN]: Figura 3 - Marco de referencia [IMAGEN]: Figura 4 - Sistema de coordenadas con los vectores mudados]

También podemos describir únicamente cualquier punto, P, en un marco, de esta manera:

P = O + a u + b v

donde O es el punto de origen.

Cambio de Coordenadas

Frecuentemente, querremos representar un punto o un vector en una base a su equivalente en otra base. Esto supone cambiar de un sistema de coordenadas a otro. Digamos que tenemos dos bases: \ y \. Cada vector en la primera base se puede representar en términos de la segunda base, y viceversa. Esta representación incluye componentes escalares resultando en el siguiente sistema de definiciones,

u1 = a11 v1 + a12 v2
u2 = a21 v1 + a22 v2

Describimos el conjunto de los componentes escalares como una matriz; esto es,

    ( a11 a12 )
M = ( a21 a22 )

Usando matrices, obtenemos la siguiente expresión,

( u1 )   ( a11 a12 ) ( v1 )
( u2 ) = ( a21 a22 ) ( v2 )

Para poder cambiar la representación de \ a \ debemos calcular la inversa de la matriz, M, de los componentes escalares. En general, representamos cualquier vector, v, en la base \ de esta manera, en forma matricial,

              ( v1 )
v = ( vx vy ) ( v2 )

Para representar v en la base de \, acabaremos invirtiendo la matriz, M. Si u es la nueva representación del mismo vector, v, entonces la expresión es la siguiente,

              ( u1 )
u = ( ux uy ) ( u2 )

Para llevar a cabo la conversión, queremos averiguar los valores de ( ux, uy ). Realizamos los siguientes pasos para ello,

          ( u1 )             ( v1 )
( ux uy ) ( u2 ) = ( vx vy ) ( v2 )

Sustituimos la base \ por su definición,

          ( a11 a12 ) ( v1 )             ( v1 )
( ux uy ) ( a21 a22 ) ( v2 ) = ( vx vy ) ( v2 )

Como la matriz de la base \ multiplica ambos lados de la igualación, la eliminamos. Ahora tenemos lo siguiente:

          ( a11 a12 )
( ux uy ) ( a21 a22 ) = ( vx vy )

Como conocemos la matriz, M, y el vector, v, necesitamos despejar la matriz del lado izquierdo de la igualdad, para determinar los valores desconocidos que representa el vector, u. Esto es,

u M = v
u M M-1 = v M-1
u I = v M-1
u = v M-1

La ecuación final es la siguiente, que se basa en calcular la inversa de la matriz, M,

      ( a11 a12 )-1
u = v ( a21 a22 )

Este cambio de bases no varía el origen y por tanto podemos usarlo para describir rotaciones y cambios de escala de una base en términos de otra base. Sin embargo, para realizar una traslación del origen o un cambio de marco, no se puede representar de esta forma. Antes de ver este cambio de marco, veamos un ejemplo de un cambio de coordenadas.

Nota: Aconsejamos ver el Apéndice 3 para una introducción a las matrices.

Ejemplo

Tenemos el vector, v = ( -1, 3 ), en la base \, que se representa así:

v = -1 i + 3 j

Figura 5 - Definición de v
[IMAGEN]: Figura 5 - Definición de v

Ahora queremos representar v en la base \ cuya representación es la siguiente, en términos de \:

u1 = -1 i + 1 j
u2 =  2 i + 2 j

Figura 6 - Definiciones de v y de \
[IMAGEN]: Figura 6 - Definiciones de v y de \

Por lo tanto, la matriz de los componentes de los vectores es la siguiente:

    ( -1  1 )
M = (  2  2 )

Para realizar el cambio de coordenadas, necesitamos calcular la inversa de M, que es,

      ( -1  1 )-1
M-1 = (  2  2 )   = A

    ( -0,50  0,25 )
A = (  0,50  0,25 )

En la nueva representación, llamemos a v el vector, u, cuya representación es la siguiente:

u = v A

              ( -0,50  0,25 )
u = ( -1  3 ) (  0,50  0,25 )

v = ( -1, 3 ) en la base \ se representa como u = ( 2, 0,50 ) en la base \.

Figura 7 - Representación de v como u en la base \
[IMAGEN]: Figura 7 - Representación de v como u en la base \

Coordenadas Homogéneas

Uno de los problemas con que nos enfrentamos es la posible confusión entre un punto y un vector, a la hora de representarlos. Por ejemplo, P = ( 3 2 ) y v = ( -2 5 ) comparten la misma representación matricial. Además, no se puede representar un cambio de marco con multiplicaciones matriciales. Para evitar estas dificultades, usaremos coordenadas homogéneas las cuales agregan un elemento o dimensión más al que tenemos, para representar puntos y vectores.

En el marco descrito por ( u1, u2, P0 ), cualquier punto, P, puede ser representado como,

P = a u1 + b u2 + P0

Podemos expresar lo anterior con matrices, resultando en lo siguiente:

              ( u1 )
P = ( a b 1 ) ( u2 )
              ( P0 )

Asimismo, podemos expresar cualquier vector del mismo marco de la siguiente manera:

v = c u1 + d u2

La expresión en forma matricial es la siguiente:

              ( u1 )
v = ( c d 0 ) ( u2 )
              ( P0 )

Podemos expresar este vector sencillamente como:

v = ( c d 0 )

Resumiendo, con las coordenadas homogéneas,

  • Podemos representar y manipular puntos y vectores de la misma manera.
  • Cualquier punto en 2D se representará así, P = ( x, y, 1 ).
  • Cualquier vector en 2D se representará así, v = ( vx, vy, 0 ).

Existe una relación lineal entre un punto en 2D y su representación en coordenadas homogéneas. Al extender un punto en 2D a uno en 3D, éste se convierte en una línea recta de la forma, P = ( tx, ty, tw ). Por lo tanto, tenemos un conjunto de coordenadas equivalentes, como es ( 2, 3, 1 ), ( 4, 6, 2 ), ( 20, 30, 10 ), etcétera. Sin embargo, como nos interesa mantener el tercer componente como 1, debemos homogeneizar el trío. Esto se hace dividiendo el tercer componente, w, entre todos. Por ejemplo, P = ( -15, 10, 5 ) pasa a ser P = ( -3, 2, 1 ).

Cambio de Marcos de Referencia

Usando coordenadas homogéneas, podemos realizar un cambio de marcos de referencia entre \ y \. Como hicimos con el cambio de coordenadas, expresaremos un marco en términos del otro. Esto es,

u1 = a11 v1 + a12 v2
u2 = a21 v1 + a22 v2
Q0 = a31 v1 + a32 v2 + P0

En forma matricial, obtenemos la siguiente fórmula,

( u1 )   ( a11 a12 0 ) ( v1 )
( u2 ) = ( a21 a22 0 ) ( v2 )
( Q0 )   ( a31 a32 1 ) ( P0 )

La matriz de componentes escalares es la llamada matriz de representación del cambio de marcos de referencia. Se define de esta manera:

    ( a11 a12 0 )
M = ( a21 a22 0 )
    ( a31 a32 1 )

Podemos cambiar la representación de un punto o de un vector al tener diferentes marcos de referencia. Si v es un vector descrito en el marco de \,

                ( v1 )
v = ( vx vy 0 ) ( v2 )
                ( P0 )

su representación, u, en el marco de \ es,

                ( u1 )
u = ( ux uy 0 ) ( u2 )
                ( Q0 )

Para calcular los escalares de u = ( ux, uy, 0 ), debemos calcular la inversa de la matriz, M. Esto es,

      ( a11 a12 0 )-1
u = v ( a21 a22 0 )
      ( a31 a32 1 )

Ejemplos de Cambio de Marcos

Veamos dos ejemplos de cambio de marcos de referencia.

  1. Volvamos al ejemplo anterior:

    Tenemos el vector, v = ( -1, 3, 0 ), en el marco \, que se representa así:

    v = -1 i + 3 j
    

    Ahora queremos representar v en el marco \ cuya representación es la siguiente, en términos de \:

    u1 = -1 i + 1 j
    u2 =  2 i + 2 j
    Q0 =  2 i - 1 j + (0,0)
    

    La matriz de la representación es la siguiente,

        ( -1  1  0 )
    M = (  2  2  0 )
        (  2 -1  1 )
    

    La inversa de la matriz, M, es la siguiente matriz, A,

          ( -1  1  0 )-1
    M-1 = (  2  2  0 )  = A
          (  2 -1  1 )
    
        ( -0,50  0,25  0 )
    A = (  0,50  0,25  0 )
        (  1,50 -0,25  1 )
    

    El vector, v, representado en el nuevo marco se llamará u, que se define como,

                     ( -0,50  0,25  0 )
    u = ( -1  3  0 ) (  0,50  0,25  0 ) = (  2  0,50  0 )
                     (  1,50 -0,25  1 )
    

    Como podemos observar, obtenemos el mismo resultado que en el ejemplo anterior, cuando hicimos un cambio de coordenadas. Esto es porque los vectores no tienen posición y por tanto el cambio del punto de origen no afecta a los vectores ni contribuye a su representación.

  2. Veamos lo que sucede al representar el punto, P = ( 1, -1 ) en el marco \:

    P = 1 i - 1 j + (0,0) = i - j
    
    Figura 8 - Definición de P en el marco \
    [IMAGEN]: Figura 8 - Definición de P en el marco \

    Ahora queremos representar el punto, P, en el marco \. La matriz de representación de este marco es la siguiente:

        ( -1  1  0 )
    M = (  2  2  0 )
        (  2 -1  1 )
    
    Figura 9 - Definiciones de P y el marco \ en el marco \
    [IMAGEN]: Figura 9 - Definiciones de P y el marco \ en el marco \

    La nueva representación del punto, P, se calcula de la siguiente manera:

    Q = P M-1
                   ( -0,50  0,25  0 )
    Q = ( 1 -1 1 ) (  0,50  0,25  0 ) = (  0,50 -0,25 1 )
                   (  1,50 -0,25  1 )
    

    Se trata del mismo punto en el espacio euclidiano, pero según el marco de referencia, se puede representar de dos formas diferentes: ( 1, -1 ) ó ( 0,50, -0,25 ).

    Figura 10 - Representación de P como Q en la base \
    [IMAGEN]: Figura 10 - Representación de P como Q en la base \