Apéndice 3: Matrices

Las matrices sirven para agrupar información en la forma de valores numéricos. Esta forma de agrupar valores tiene ciertas propiedades matemáticas. Para la teoría de gráficos, el mayor uso de matrices es en la representación de sistemas de coordenadas y numerosas transformaciones de tales. Generalmente, se usarán matrices que son 4 x 4, para las matrices de transformación, por ejemplo.

Definiciones

Una matriz es una lista de n x m números escalares, que se suele representar como n filas y m columnas. Éstas son las dimensiones de la matriz: filas y columnas. Si n = m, entonces decimos que es una matriz cuadrada de dimensión (u orden) n. Los elementos de la matriz A son el conjunto de números escalares, \, donde i = 1, 2, …, n y j = 1, 2, …, m. Visto de otra manera:

    a11 a12 a13 a14
A = a21 a22 a23 a24
    a31 a32 a33 a34
    a41 a42 a43 a44

Aquí A es una matriz de 4 x 4, o sea, una matriz cuadrada de dimensión (u orden) 4, ya que tiene 4 filas y 4 columnas.

La traspuesta de una matriz A de n x m es una matriz de m x n obtenida por el intercambio de las filas por las columnas de A. Esta matriz traspuesta se anota AT:

     a11 a21 a31 a41
AT = a12 a22 a32 a42
     a13 a23 a33 a43
     a14 a24 a34 a44

Operaciones de Matrices

Existen tres operaciones de matrices básicas: multiplicación escalar-matriz, suma matriz-matriz, y multiplicación matriz-matriz.

Multiplicación Escalar-Matriz

Es la multiplicación del escalar s por cada elemento de la matriz A.

     sa11 sa12 sa13 sa14
sA = sa21 sa22 sa23 sa24
     sa31 sa32 sa33 sa34
     sa41 sa42 sa43 sa44

Este tipo de multiplicación tiene las propiedades conmutativa: sA = As, y asociativa: s(tA) = (st)A.

Suma Matriz-Matriz

Se suman los elementos correspondientes de las dos matrices. La suma sólo se puede hacer si las dos matrices son del mismo orden: el número de filas y columnas es el mismo para la matriz A y B:

        a11+b11 a12+b12 a13+b13 a14+b14
A + B = a21+b21 a22+b22 a23+b23 a24+b24
        a31+b31 a32+b32 a33+b33 a34+b34
        a41+b41 a42+b42 a43+b43 a44+b44

La suma de matrices acepta las propiedades conmutativa: A + B = B + A, y asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C. Por supuesto, todas las matrices han de ser de orden n x m.

Multiplicación Matriz-Matriz

Se multiplican cada elemento de una fila de la primera matriz, A, de orden n x r, con su correspondiente elemento de la columna de la segunda matriz, B, de orden r x m. Cada producto es el sumando para la suma, que será el elemento resultante de la fila y columna intervenidas. Esto es mejor ilustrarlo:

    a11 a12 a13      b11 b12
A = a21 a22 a23  B = b21 b22
    a31 a32 a33      b11 b12

	a11*b11+a12*b21+a13*b31  a11*b12+a12*b22+a13*b32
A * B = a21*b11+a22*b21+a23*b31  a21*b12+a22*b22+a23*b32
	a31*b11+a32*b21+a33*b31  a31*b12+a32*b22+a33*b32

Dicho de otro modo:

C = A*B = [cij]

donde,

       r
cij =  (aik*bkj)
      k=1

La matriz resultante será C, que será de orden n x m. Por esta razón, sólo se pueden multiplicar matrices donde el número de columnas de la primera matriz sea el mismo que el de las filas de la segunda matriz. Es decir, la primera matriz de orden s x t se multiplica por la segunda matriz de orden v x w, entonces t = v, y la matriz resultante será de orden s x w.

La multiplicación de matrices acepta la propiedad asociativa: A * (B * C) = (A * B) * C, pero no siempre se da la conmutativa: A * B B * A. Por supuesto, todas las matrices han de ser de orden n x m.

Es importante mencionar la matriz identidad, que es una matriz cuadrada donde todos los elementos son ceros, a excepción de los elementos que se encuentran en la diagonal, donde son unos:

    1 0 0 0 …
    0 1 0 0 …                        \{ 1, si i = j
I = 0 0 1 0 …    I = [aij],    aij = \{
    0 0 0 1 …                        \{ 0, de lo contrario
    ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

La matriz identidad es una de las pocas matrices donde la propiedad conmutativa se puede aplicar: I * A = A * I = A. Cualquier matriz multiplicada por la identidad es igual a esa misma matriz: I * A = A. La matriz identidad es el elemento neutro para las matrices.

Ejemplos

     3  3 -1  0        3  0  1  0        2  0 -1  1
     0 -2  2  0       -2 -1 -3  0       -1  2  0  2
A =  1  0 -2  0   B = -1 -4  2  3   C =  0  0  2  0
     2 -3  4  1        0  2  1  0        1  1  2  1
    -1 -1  0 -2        3  2  4  1

A * B No se puede, ya que A es de orden 5 x 4, y B, 5 x 4. El número de columnas de A no es igual al de filas de B. Lo mismo ocurre con B * A, y con C * A.

         3  6 -5  9            6  0 -1  3            6  3  0  0
         2 -4  4 -4           -3 -2 -2 -4           -2 -3 -1  0
A * C =  2  0 -5  1   B * C =  5 -5 11 -6   A + B =  0 -4  0  3
         8 -5  8 -3           -2  4  2  4            2 -1  5  1
        -3 -4 -3 -4            5  5  7  8            2  1  4 -1

Determinante de una Matriz

El determinante de una matriz cuadrada A es un escalar, y se representa así: |A| o det A.

Hay varias formas de calcular el determinante. La forma más general es siguiendo la regla de Cramer:

  • El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es el siguiente:
        a b
    A = c d    |A| = a*d - b*c
    
  • Con una matriz cuadrada de mayor orden, elegimos una columna o fila cualquiera. Ahora iremos cancelando la fila, por ejemplo, elegida y la primera columna. Los elementos restantes formarán otra matriz, y calcularemos el determinante de ésta. Este determinante se multiplicará por el elemento donde la fila elegida y primera columna se intersectan. Luego haremos lo mismo con la segunda columna y demás restantes. No se multiplica sin más, sino que hay un cambio de signo, dependiendo de cuál elemento se está multiplicando. Sigue este esquema, en forma de matriz:

    + - + - + - …
    - + - + - + …
    + - + - + - …
    - + - + - + …
    + - + - + - …
    ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱
    

Ejemplos

Para entender cómo se realiza esto, es mejor ver un ejemplo:

     1  3 -1 -5          | 1  3 -1 -5 |
A =  3  2  0  1    |A| = | 3  2  0  1 |
    -3 -2 -1  0          |-3 -2 -1  0 |
     4  0  1  1          | 4  0  1  1 |

Ahora elegimos una fila o columna; elegiremos la 4ª fila. Por lo que el determinante será:

           | 3 -1 -5 |       | 1 -1 -5 |       | 1  3 -5 |       | 1  3 -1 |
|A| = -4 * | 2  0  1 | + 0 * | 3  0  1 | - 1 * | 3  2  1 | + 1 * | 3  2  0 |
           |-2 -1  0 |       |-3 -1  0 |       |-3 -2  0 |       |-3 -2 -1 |

El primer producto se realiza mediante eliminando la 1ª columna y la 4ª fila. La intersección de éstas resulta en el elemento: 4, con el signo negativo, consultando el esquema visto anteriormente. El segundo producto aparece eliminando la 2ª columna y 4ª fila; el elemento de intersección es: 0, por lo que no hace falta ni calcular. El tercer producto, es el determinante de los elementos restantes cuando se eliminan los elementos de la 3ª columna y 4ª fila, y se multiplica con la intersección: 1. Y el cuarto producto se hace de igual manera que los demás: 4ª columna y 4ª fila.

El cálculo de los tres determinantes se hace de igual forma: eligiendo una fila o columna, e ir eliminando hasta conseguir un determinante que sí sepamos hacer: a*b-d*c. Para una matriz de 3 x 3, aquí presentamos el determinante ya calculado:

    a b c
B = d e f    |B| = a*(ei-fh) - b*(di-fg) + c*(dh-eg)
    g h i

Volviendo a nuestro ejemplo, obtenemos los determinantes de las matrices de 3 x 3, para resolver la matriz de 4 x 4:

|A| = -4 * (3+2+10) - 1 * (2-9+0) + 1 * (-2+9+0)
    = (-4)*15 + (-1)*(-7) + (1)*(7)
    = -60 + 7 + 7
    = -46

Propiedades

Existen las siguientes propiedades acerca de las matrices y sus determinantes:

  1. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz cuadrada, A, son idénticas, entonces det A = 0.
  2. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz cuadrada, A, son intercambiables, entonces sólo el signo de det A es cambiado.
  3. El valor de det A no varía si se suma un múltiplo de una fila a otra fila o si se suma un múltiplo de una columna a otra columna.
  4. Si tenemos dos matrices cuadradas, A y B, del mismo orden, entonces det (AB) = (det A) (det B).
  5. Si una matriz, A, es invertible, entonces det (A-1) = (det A)-1.
  6. Si una matriz, A, es cuadrada de orden n, entonces det (kA) = kn(det A), donde k es un escalar.

Inversión de una Matriz

Para invertir una matriz, ésta debe ser una matriz cuadrada. Si,
q = Ap,

queremos saber si podemos encontrar una matriz cuadrada B tal que
p = Bq.

Sustituyendo por q,
p = Bq = BAp.

Haciendo un cambio de notación,
p = Ip.

Para que,
Ip = BAp, entonces
I = BA.

Si tal matriz B existe, entonces es la inversa a A, y A la denominamos no singular. También podemos decir que una matriz no invertible es singular. La inversa a A se escribe A-1. El resultado fundamental sobre inversas es el siguiente: La inversa a una matriz cuadrada existe si y sólo si el determinante de la matriz es distinto a cero. Podemos calcular la inversa usando determinantes o usando razonamiento geométrico. Por ejemplo, la inversa de una matriz con propiedades de simetría geométrica, es exactamente el reverso de esa matriz; como es el caso de rotaciones por un eje, que contiene senos y cosenos de un mismo ángulo.

Método

Usaremos el método de Cramer. Si D es el determinante de A, entonces B - la inversa de A - está formada por bij, donde cada bij es el determinante de la submatriz, creada por la eliminación de la fila i y de la columna j de la matriz AT, dividido entre D. Esto es mejor explicarlo con un ejemplo.

Ejemplos

       1  3 -1          | 1  3 -1 |
A   =  3  2  0    |A| = | 3  2  0 | = 7 = D ≠ 0 ⇒ A es invertible (o no singular)
      -3 -2 -1          |-3 -2 -1 |

       1  3 -3
AT  =  3  2 -2
      -1  0 -1

A-1 = B = [bij],

        |  2 -2 |                       |  3 -2 |                       |  3  2 |
        |  0 -1 |                     - | -1 -1 |                       | -1  0 |
b11 = ------------ = -0,2857    b12 = ------------ =  0,7143    b13 = ------------ =  0,2857
            D                               D                               D

        |  3 -3 |                       |  1 -3 |                       |  1  3 |
      - |  0 -1 |                       | -1 -1 |                     - | -1  0 |
b21 = ------------ =  0,4286    b22 = ------------ = -0,5714    b23 = ------------ = -0,4286
            7                               7                               7

        |  3 -3 |                       |  1 -3 |                       |  1  3 |
        |  2 -2 |                     - |  3 -2 |                       |  3  2 |
b31 = ------------ =  0         b32 = ------------ = -1         b33 = ------------ = -1
            7                               7                               7

Como podemos ver, b11 se calcula dividiendo dos determinantes. El numerador se calcula a partir de la matriz que queda eliminando la primera fila y columna de la matriz AT. El elemento b12 se calcula de la misma manera. Creamos la matriz del numerador eliminando la primera fila y la segunda columna de la matriz AT. Y así sucesivamente. También aplicamos los signos positivo o negativo siguiendo la misma lógica que empleamos cuando calculamos el determinante de una matriz.

Al final, obtenemos A-1 que es:

          -0,2857 -0,7143  0,2857
B = A-1 = -0,4286 -0,5714  0,4286
           0      -1      -1

Se puede comprobar, fácilmente, que AB = I

Cambio de Representación

Usando matrices con los vectores base podemos cambiar la representación de cualquier conjunto de vectores (no base). Supongamos que tenemos dos vectores de dimensión n que forman la base del espacio vectorial: \ y \. Por ejemplo, el vector w puede ser expresado como:

w = a1u1 + a2u2 + a3u3 + … + anun,
o
w′ = b1v1 + b2v2 + b3v3 + … + bnvn

Veamos cómo convertimos de la representación de w a la de w′. Los vectores base \ pueden expresarse como vectores en la base \. Por esto, existe un conjunto de escalares αij tal que:

u1      v1
u2      v2
u3      v3
.  = A  .   Donde A es una matriz n x n : A = [αij]
.       .
.       .
un      vn

Podemos usar matrices en columna para representar ambos vectores, w y w′, como:

       u1
       u2
       u3
w = aT .      Donde a = [ai],
       .
       .
       un

Definamos b como

b = [bi],

y podemos escribir w′ como

        v1
        v2
        v3
w′ = bT .
        .
        .
        vn

Sustituyendo, obtenemos que

bT = aT A

Ejemplos

Supongamos que tenemos un vector w = (3, -2, 1), representado en la base u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), y u3 = (0, 0, 1). Queremos hallar el vector w′, que es igual a w, pero representado en otra base: v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), and v3 = (1, 1, 1).

Representamos w en términos de la base de vectores u:

w = 3u1 - 2u2 + 1u3

por lo que,

a = [3 -2 1].

Representando w′ en términos de v, obtenemos:

w′ = b1v1 + b2v2 + b3v3

Ahora calculamos A, que representa la matriz de la representación de la base de vectores v, en términos de u:

v1 = u1
v2 = u1 + u2
v2 = u1 + u2 + u3

por lo que,

                  -1
           1  1  1     1 -1  0
A = B-1 =  0  1  1  =  0  1 -1
           0  0  1     0  0  1

Ahora averiguamos b:

                 1 -1  0
b = [3 -2  1] *  0  1 -1 = [3 -5 3]
                 0  0  1

Sabiendo b, podemos calcular w′:

w′ = 3v1 - 5v2 + 3v3

Producto Escalar

Dados dos vectores no perpendiculares, u y v, el producto escalar dará un escalar (número real). Si los vectores, u y v, contienen los siguientes elementos: u1, u2, u3, …, un, y v1, v2,v3, …, vn, respectivamente, entonces definimos el producto escalar de esta forma:

uv = (u1, u2, u3, …, un) • (v1, v2, v3, …, vn)
      = u1*v1 + u2*v2 + u3*v3 + … + un*vn 
      = s, donde s es un escalar.

Existe una relación con el módulo del producto escalar y los de los vectores con el coseno del ángulo formado con dichos vectores:

uv = ‖u‖ * ‖v‖ * cos α,

donde α es el ángulo formado entre los vectores u y v.

Ejemplos

Si u = ( -1, 2, 5, 3, 0 ) y v = ( -3, -2, 4, 0, -1 ), entonces

uv = ( -1, 2, 5, 3, 0 ) • ( -3, -2, 4, 0, -1 )
      = (-1)*(-3) + 2*(-2) + 5*4 + 3*0 + 0*(-1)
      = 3 - 4 + 20
      = 19

Ahora podemos averiguar el ángulo entre estos vectores:

u‖ = √( (-1)2 + (2)2 + (5)2 + (3)2 + (0)2 )
   = √( 39 ) ≅ 6,2450 unidades
‖v‖ = √( (-3)2 + (-2)2 + (4)2 + (0)2 + (-1)2 ) 
   = √( 30 ) ≅ 5,4472 unidades

          uv            19
cos α = --------- = ----------------- ≅ 0,5555
         ‖u‖ * ‖v‖     6,2450 * 5,4472

α = cos-1 0,5555 = 0,9819 radianes ≅ 56,26º

Producto Vectorial

Dados dos vectores no paralelos, u y v, en un espacio tridimensional, el producto vectorial dará un tercer vector, w, que es ortogonal a ambos. Debemos tener:

wu = wv = 0.

Si los vectores, u y v, contienen los siguientes elementos: u1, u2, u3, y v1, v2, v3, respectivamente, entonces definimos w como el determinante con estos elementos:

            | i  j  k  |
w = u × v = | u1 u2 u3 | = i(u2*v3 - u3*v2) - j(u1*v3 - u3*v1) + k(u1*v2 - u2*v1)
            | v1 v2 v3 |

Aquí i, j, y k representan los vectores unitarios: (1, 0, 0), (0, 1, 0), y (0, 0, 1), respectivamente. Observamos que i es el vector con la misma dirección que el eje X, con el sentido positivo, y tiene como longitud 1, de ahí el nombre "unitario". Lo mismo ocurre con los vectores j y k, y los ejes Y y Z, respectivamente.

Podemos reescribir el resultado del determinante, que es el vector w:

    u2*v3 - u3*v2
w = u3*v1 - u1*v3
    u1*v2 - u2*v1

El orden de los operandos para el producto vectorial influye en el vector resultante. Sin embargo, la única diferencia entre los dos posibles vectores, es un cambio de sentido; es decir:

u × v = - ( v × u )

Existe otra propiedad con el módulo del producto vectorial:

u × v‖ = ‖u‖ * ‖v‖ * sen α,

donde α es el ángulo formado entre los vectores u y v.

Ejemplos

u = ( -3, 5, 1 ),  y  v = ( 4, -2, -1 )

             |  i  j  k |
w  = u × v = | -3  5  1 |
             |  4 -2 -1 |
   = i(5*(-1) - (1*(-2))) - j((-3)*(-1) - 1*4) + k((-3)*(-2) - 5*4)
   = -3i + j + (-14)k

             |  i  j  k |
w′ = v × u = |  4 -2 -1 |
             | -3  5  1 |
   = i(1*(-2) - (5*(-1))) - j(1*4 - (-3)*(-1)) + k(5*4 - (-3)*(-2))
   = 3i - j + 14k

Como podemos observar w = -w′, por lo que ‖w‖ = ‖w′‖ :

w‖ = √( (-3)2 + (1)2 + (-14)2 )
   = √( 206 ) ≅ 14,3527 unidades

Ahora podemos averiguar el ángulo que forman estos dos vectores:

u‖ = √( (-3)2 + (5)2 + (1)2 )  = √( 35 ) ≅ 5,9161 unidades
‖v‖ = √( (4)2 + (-1)2 + (-1)2 ) = √( 18 ) ≅ 4,2426 unidades

         ‖u × v‖          14,3527
sen α = --------- = ----------------- ≅ 0,5718
         ‖u‖ * ‖v‖     5,9161 * 4,2426

α = sen-1 0,5718 = 0,6087 radianes ≅ 34,88º